[Pokémon: Satoshi's Castle ~ Summer Edition] Vincitori!

[Lance94]

 

 

Ben ritrovati cari amici del "Pokémon: Satoshi's Castle"! 

 

Ci scusiamo innanzitutto per il ritardo, ma a causa di qualche problema, siamo stati costretti a posticipare la pubblicazione dei risultati di questa edizione estiva. Bando alle ciance, buona lettura!

 

 

 

Vincitori del gioco "Che confusione con queste ricette!"

 

Vincitori:

 

Nessuno. 

 

Ovviamente scherzo! xD

Ecco la lista di persone che vincono la bellezza di 2 PokéPoints a testa:

 

Hydrogen

Lawliet~

GrowlitheForce

•Rufy

Rubber Strawhat

Luke88

jaja

Reaper-01-10-95

Stephox

Monochromatic

Simoforzamilan97

teogreninja

Oblerius

Samajd

T_Terry_T

Vannegor

 

I silver user Lawliet~, Rubber Strawhat, Monochromatic riceveranno, inoltre 1 PokéPoint bonus.

 

Soluzione:

Ricetta 1:

• Pokémella:
  Tipo Secco
  
  Nature che l'adorano:
  Ardente, Mite, Modesta e Quieta
  
  Nature che non la sopportano:
  Allegra, Cauta, Decisa e Scaltra
   

• Pokémella:
  Tipo Dolce
  
  Nature che l'adorano:
  Allegra, Ingenua, Lesta e Timida
  
  Nature che non la sopportano:
  Audace, Placida, Quieta e Vivace
   

• Pokémella:
  Tipo Aspro
  
  Nature che l'adorano:
  Fiacca, Placida, Scaltra e Sicura
  
  Nature che non la sopportano:
  Gentile, Lesta, Mite e Schiva

 

Ricetta 2:

Nera -> Si ottiene mescolando due o più bacche dello stesso tipo. Di basso livello.
Blu -> Aumenta la Bellezza. Secca.
Marrone -> Aumenta la Grazia. Molto dolce.
Oro -> Aumenta Grazia (probabilità  di aumento anche per Grinta o Classe). Di alto livello.
Grigia -> Aumenta 3 statistiche.
Verde -> Aumenta l'Acume. Molto pepata.
Indaco -> Aumenta la Bellezza. Molto secca.
Azzurra -> Aumenta l'Acume. Molto amara.
Oliva -> Aumenta la Grinta. Molto aspra.
Gialla -> Aumenta la Grinta. Aspra.

 

È vero, ci dovevano essere altri vincitori, ma ho deciso, personalmente, di premiare solo coloro che non si sono fatti ingannare dal mio piccolo tranello, che riguarda la frase della Ricetta 2 - "Oro".

Quindi sono stati premiati tutti quelli che non hanno fatto un semplice copia-incolla da Wikipedia.

 

Frase mia: Aumenta Grazia (probabilità  di aumento anche per Grinta o Classe). Di alto livello.

Frase di Wikipedia: Aumenta Grazia (può aumentare anche la Grinta o la Classe). Di alto livello.

 

~ Peeta

 

 

 

Vincitori del gioco "Problema... Difettoso!"

 

Vincitori:

mizu! Che vince 4 poképoints, complimenti!

â˜Peter Panâ˜! Che vince 4 poképoints, complimenti!

ChubeËŠ! Che vince (4 + 1) = 5 poképoints, complimenti!

LegendGoomy97! Che vince (4 + 1) = 5 poképoints, complimenti!

Lawliet~! Che vince (4 + 1) = 5 poképoints, complimenti!

chris23! Che vince (4 + 1) = 5 poképoints, complimenti!

 

 

Soluzioni:

1) E' possibile ottenere 51 litri di acqua utilizzando un rubinetto da 2 litri? Se sì, dire quante volte utilizzare il rubinetto. Se no, motivare la risposta.

No. Supponiamo di utilizzare n volte il rubinetto da 2 litri. Nel contenitore otterremo, dunque, 2n  litri di acqua, ossia un numero pari (il doppio di un numero naturale è per definizione un numero pari). Ci viene, però, richiesto un numero dispari di litri di acqua (un numero naturale che non è pari è per definizione dispari). Pertanto, non esistendo alcun numero contemporaneamente pari e dispari, la richiesta è impossibile.

 

2) E' possibile ottenere 54 litri di acqua utilizzando un rubinetto da 3 litri? Se sì, dire quante volte utilizzare il rubinetto. Se no, motivare la risposta.

Sì. Supponiamo di utilizzare n volte il rubinetto da 3 litri. Nel contenitore otterremo, dunque, 3n litri di acqua. Come si può facilmente verificare (attraverso l'applicazione di un algoritmo di divisione o di una calcolatrice) il numero 54 è un multiplo di 3, più precisamente si ha che 54 = 3 x 18. Dunque è sufficiente utilizzare diciotto il rubinetto da 3 litri per ottenere i 54 richiesti.

 

3) E' possibile ottenere 71 litri di acqua utilizzando un rubinetto da 2 litri e uno da 8 litri? Se sì, dire quante volte utilizzare ciascun rubinetto. Se no, motivare la risposta.

No. Supponiamo di utilizzare m volte il rubinetto da 2 litri e n volte il rubinetto da 8 litri. Nel contenitore otterremo, dunque, un quantitativo di litri di acqua pari a 2m + 8n. Ora, il numero 2m è pari, e lo è anche il numero 8n in quanto entrambi sono il doppio di un altro numero naturale. Infine, anche il numero 2m + 8n è un numero pari, in quanto è somma di numeri pari. Tale quantità  non potrà  mai essere uguale a un quantitativo dispari di litri di acqua (nel caso della richiesta 71). Pertanto, anche in questo caso, non è possibile adempiere alla richiesta.

 

4) E' possibile ottenere 74 litri di acqua utilizzando un rubinetto da 3 litri e uno da 5 litri? Se sì, dire quante volte utilizzare ciascun rubinetto. Se no, motivare la risposta.

Sì. Supponiamo di utilizzare m volte il rubinetto da 3 litri e n volte il rubinetto da 5 litri. Nel contenitore otterremo, dunque, un quantitativo di litri di acqua pari a 3m + 5n. Il numero 74 è possibile sì scriverlo come somma di un multiplo di 3 e di un multiplo di 5, ad esempio è vero che: 74 = 24 + 50 = 3 x 8 + 5 x 10. Pertanto la risposta al quesito è affermativa ed è sufficiente utilizzare (ad esempio) otto volte il rubinetto da 3 litri e dieci volte il rubinetto da 5 litri.

 

5) E' possibile ottenere 476 litri di acqua utilizzando un rubinetto da 21 litri e uno da 63 litri? Se sì, dire quante volte utilizzare ciascun rubinetto. Se no, motivare la risposta.

No. Supponiamo di utilizzare m volte il rubinetto da 21 litri e n volte il rubinetto da 63 litri. Nel contenitore otterremo, dunque, un quantitativo di litri di acqua pari a 21m + 63n. E' interessante notare che il numero 21m è sempre divisibile per 21 e, che, anche il numero 63n lo è (63 è un multiplo di 21!). Di conseguenza anche il numero 21m+63n è divisibile per 21 in quanto somma di numeri divisibili per 21. Pertanto il numero di litri di acqua nel contenitore sarà  sempre un multiplo di 21. La domanda ci richiede di accumulare nel contenitore 476 litri di acqua. Siccome 476 non è un multiplo di 21, la richiesta è impossibile.

 

6) Supponendo di avere un secchio di capacità  7 litri con cui poter svuotare  il contenitore, è possibile ottenere 476 litri di acqua utilizzando un rubinetto da 21 litri e uno da 63 litri? Se sì, dire qual è il numero minimo di mosse (e quali) per ottenere un tale quantitativo di acqua. Se no, motivare la risposta.

Sì. Supponiamo di utilizzare m volte il rubinetto da 21 litri, n volte il rubinetto da 63 litri e k volte il secchio da 7 litri. Nel contenitore otterremo, dunque, un quantitativo di litri di acqua pari a 21m + 63n - 7k. E' interessante constatare che tale numero è sempre divisibile per 7 in quanto ciascun addendo lo è. La domanda ci richiede di accumulare nel contenitore 476 litri di acqua, ossia un multiplo di 7. A questo punto, ha sì senso chiedersi di determinare una possibile terna dei valori m, n, k tale per cui sia minima la somma m + n + k (ossia le mosse da eseguire). La cosa più logica da eseguire è quella di utilizzare sette volte il rubinetto da 63 litri di acqua riducendo la richiesta da 476 a 35 litri di acqua. A questo punto possiamo adoperare il secchio per rimuovere 7 litri e aumentare la richiesta di acqua a 42 litri. Infine, utilizzare per due volte il rubinetto da 21 litri per portare a termine la richiesta. Il numero minimo di mosse era, dunque, dieci.

 

EXTRA: Esistenza e caratteristiche delle soluzioni di un'equazione diofantea lineare

Cosa sarebbe successo se vi avessi dovuto chiedere, nel gioco, di trovare, non una, ma tutte le possibili soluzioni? (Comprese, per assurdo, anche quelle negative?). 

 

Iniziamo col definire come equazione diofantea una qualunque equazione algebrica in una o in più incognite a coefficienti interi di cui si vuole determinare tutte e sole le soluzioni intere.

 

Le più semplici equazioni diofantee da studiare sono quelle lineari, ossia quelle dove le incognite appaiono come termini di primo grado. Per semplicità  analizzeremo le equazioni diofantee lineari a due incognite, ossia della forma:

 

ax + by = c   (a,b,c  noti)

 

La prima cosa che ci chiediamo è se questa equazione ammette soluzioni. Detto k = M.C.D. (a, b)  (massimo comun divisore di a e di b) osserviamo che naturalmente k | ax + by  (il simbolo "|" significa "divide") in quanto k|a e k|b. L'equazione diofantea ha soluzione se e solo se è vero che ax + by = c. Ma siccome k | ax + by, allora l'equazione diofantea ha soluzione solo se k|c. Inoltre si può dimostrare, ma noi non lo faremo, che se k|c allora l'equazione diofantea ha soluzione.

 

In generale: Un'equazione diofantea lineare di primo grado ammette soluzioni se e solo se il massimo comun divisore dei coefficienti delle incognite divide il termine noto. 

 

Dopo aver stabilito una condizione necessaria e sufficiente all'esistenza delle soluzioni, possiamo chiederci, se esistono, quante sono. Iniziamo a considerare, per semplicità , l'equazione omogenea associata:

 

ax + by = 0

 

Si sarebbe tentati di affermare che le soluzioni sono tutti quei valori tali per cui x = - by/a. Purtroppo questa affermazione è del tutto errata. Per prima cosa è che questa scrittura non contiene tutte le soluzioni, ma ne perde una, quella nel caso in cui a = 0. Inoltre, ci eravamo proposti di determinare tutte e sole le soluzioni intere, ma non sempre la divisione fra numeri interi è ancora un numero intero. Per queste due ragioni tale scrittura non è accettabile (in questo frangente). 

 

E' immediata constatare che una possibile soluzione è x = b e y = - a, poiché si ha difatti che ab - ba =0. In generale, tutte e sole le soluzioni dell'equazione omogenea associata sono le soluzioni del tipo:

 

x = bt

y = - at

 

Come è facilmente verificabile andando a sostituire nell'equazione. Si noti inoltre che questa scrittura delle soluzioni consente effettivamente di trovarle tutte quante (t è un numero intero da cui dipendono le soluzioni). Passiamo ora al caso più generico, ossia:

 

ax + by = c

 

E' possibile dimostrare (ma noi non lo faremo) che tutte e sole le soluzioni di questa equazione si ottengono sommando ad una soluzione, le soluzioni dell'equazione omogenea associata. Insomma, se x e y sono una soluzione di ax + by = c, ossia se ax + by = c, allora tutte le soluzioni dell'equazione diofantea lineare sono del tipo:

 

x = x + bt

y = y - at

 

Dunque, l'unico problema torna ad essere l'individuazione di una soluzione particolare. In primo approcio una generica soluzione può essere intravista "ad occhio", ma per fortuna, in casi più complessi, siamo aiutati da un algoritmo che ci consente di determinarla (e di cui non tratteremo) che prende il nome di M.C.D.E. (massimo comun divisore esteso).

 

 

Ad esempio, riprendendo la domanda numero quattro, l'equazione diofantea risolvente è:

 

3x + 5y = 74

 

Cerchiamo ora tutte le soluzioni di questa equazione. L'equazione omogenea associata 3x + 5y = 0 ha come soluzione x = 5t, y = - 3t. Inoltre è già  stata individuata una soluzione particolare, ossia x = 8 e y = 10. Dunque l'equazione diofantea iniziale ha per soluzione:

 

x = 8 + 5t

y = 10 - 3t

 

Dove t è un intero qualunque.

 

 

 

Vincitori del gioco "Questione di festa!"

 

Vincitori:

Haven - 6 + 1 = 7 Poképoints

Roman - 5 + 1 = 6 Poképoints

The Mighty Mawile - 4 Poképoints

Oblerius - 3 Poképoints

#monochrome - 2 Poképoints

Gigo - 1 + 1 = 2 Poképoints

 

 

Informazioni generali:

• Se qualcuno dei partecipanti avesse cambiato nickname è pregato di avvisare in questa discussione, grazie;

• I PokéPoints saranno inviati il prima possibile.

 

Ci vediamo alla prossima... Quando? Eheheheh!  

 

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[Frok]

Pensavo di vincere qualcosa con l'ultimo satoshi. rip

Sono consapevole di aver scritto il testo in modo frettoloso senza curarmi degli errori di ortografia o del lessico. Mi rifarò, forse.

[UnknownZekrom]

Oh well. Complimenti a tutti!

[Ryan]

Complimenti ai vincitori. 

[Roman]

Uh, non me l'aspettavo. Sapevo di venir squalificato per il primo Satoshi ma di vincere qualcosa al terzo.....

Che emozione. *urla*

[Snow.Queen]

Complimenti ai vincitori, purtroppo, essendo stata al mare in quella settimana, non ho potuto partecipare e vedendo le soluzioni, non so se sarei stata in grado di riuscirci, complimenti!

[Light Paladin~]

Complimenti a tutti c:

E io che avevo anche fatto bene il Satoshy's di Lance, la combo pigrizia più poca autostima è devastante ;-;

[Lawliet]

7 PP tutti per me ;v;

Complimenti a tutti, come al solito.

Comunque devo dire che Peeta è davvero una persona malefica, il tranello era assai malvagio D:

[Prince]

Complimenti a tutti, purtroppo non ho potuto partecipare a nessun Satoshi, ma mi rifarò.

[chris23]

Complimenti a tutti, purtroppo non ho potuto partecipare a nessun Satoshi, ma mi rifarò.

se ci fosse un satoshi in cui per vincere bisogna cambiare set più volte, vinceresti solo tu

[Prince]

se ci fosse un satoshi in cui per vincere bisogna cambiare set più volte, vinceresti solo tu

FATELO CHE VOGLIO VINCERE E FARE TANTI BIG MONEY.

[Mighty.]

Ho vinto 4 PP con la sagra della porchetta yeee (?)

[Charizard90]

Complimenti a tutti.

L'unica volta che ho risposto corretto al Satoshi di Lance94 non ho vinto niente

[Pincus.]

Complimentoni a tutti!  
Ma sul primo Satoshi ero convintissimo di avere risposto tutto giusto, ma se è possibile sapere dove ho sbagliato? non è per fare polemica dato ho partecipato conta solo questo dai, vorrei solo soltanto sapere dove ho sbagliato e cosi al prossimo satoshi mi rifarò!

Ancora complimentoni a tutti

[Porygatto]

E io che credevo di averne vinto due T^T

[talos45]

Complimenti ai vincitori

[Chicco]

Speravo nell'ultimo, peccato

Complimenti ai vincitori

[Wicked]

Woow, ho vinto 2pp grande!! Finalmente ho vinto qualcosaaa!! ^-^

[LegendMimikyu97]

5 PP... finalmente

[Luke88]

*prende i suoi 2 PP* almeno so di averle dette tutte giuste anche nel Problema Difettoso, probabilmente gli altri hanno dato risposte migliori delle mie però

 

Vogliamo sentire i commenti delle storie che hanno vinto :v

[Simo]

Speravo di aver vinto qualcosa con il secondo satoshi, ma probabilmente non sono stato veloce oppure la spiegazione non era il massimo. Vabe, mi rifarò in futuro...

Complimenti ai vincitori!

[Gigo]

Complimenti ai vincitori. 

Il mio PP va a te lol

Complimenti a tutti ♫

[jaja]

... ho vinto quello che mi aspettavo di aver perso... O.O

solo per curiosità : in base a cosa sono stati valutati i testi del 3° satoshi?

[Pride]

 

 

 

Ben ritrovati cari amici del "Pokémon: Satoshi's Castle"! 

 

Ci scusiamo innanzitutto per il ritardo, ma a causa di qualche problema, siamo stati costretti a posticipare la pubblicazione dei risultati di questa edizione estiva. Bando alle ciance, buona lettura!

 

 

 

Vincitori del gioco "Che confusione con queste ricette!"

 

Vincitori:

 

Nessuno. 

 

Ovviamente scherzo! xD

Ecco la lista di persone che vincono la bellezza di 2 PokéPoints a testa:

 

Hydrogen

Lawliet~

GrowlitheForce

•Rufy

Rubber Strawhat

Luke88

jaja

Reaper-01-10-95

Stephox

Monochromatic

Simoforzamilan97

teogreninja

Oblerius

Samajd

T_Terry_T

Vannegor

 

Soluzione:

Ricetta 1:

• Pokémella:

  Tipo Secco

  Nature che l'adorano:

  Ardente, Mite, Modesta e Quieta

  Nature che non la sopportano:

  Allegra, Cauta, Decisa e Scaltra

   

• Pokémella:

  Tipo Dolce

  Nature che l'adorano:

  Allegra, Ingenua, Lesta e Timida

  Nature che non la sopportano:

  Audace, Placida, Quieta e Vivace

   

• Pokémella:

  Tipo Aspro

  Nature che l'adorano:

  Fiacca, Placida, Scaltra e Sicura

  Nature che non la sopportano:

  Gentile, Lesta, Mite e Schiva

 

Ricetta 2:

Nera -> Si ottiene mescolando due o più bacche dello stesso tipo. Di basso livello.

Blu -> Aumenta la Bellezza. Secca.

Marrone -> Aumenta la Grazia. Molto dolce.

Oro -> Aumenta Grazia (probabilità  di aumento anche per Grinta o Classe). Di alto livello.

Grigia -> Aumenta 3 statistiche.

Verde -> Aumenta l'Acume. Molto pepata.

Indaco -> Aumenta la Bellezza. Molto secca.

Azzurra -> Aumenta l'Acume. Molto amara.

Oliva -> Aumenta la Grinta. Molto aspra.

Gialla -> Aumenta la Grinta. Aspra.

 

È vero, ci dovevano essere altri vincitori, ma ho deciso, personalmente, di premiare solo coloro che non si sono fatti ingannare dal mio piccolo tranello, che riguarda la frase della Ricetta 2 - "Oro".

Quindi sono stati premiati tutti quelli che non hanno fatto un semplice copia-incolla da Wikipedia.

 

Frase mia: Aumenta Grazia (probabilità  di aumento anche per Grinta o Classe). Di alto livello.

Frase di Wikipedia: Aumenta Grazia (può aumentare anche la Grinta o la Classe). Di alto livello.

 

~ Peeta

 

 

 

Vincitori del gioco "Problema... Difettoso!"

 

Vincitori:

mizu! Che vince 4 poképoints, complimenti!

â˜Peter Panâ˜! Che vince 4 poképoints, complimenti!

ChubeËŠ! Che vince (4 + 1) = 5 poképoints, complimenti!

LegendGoomy97! Che vince (4 + 1) = 5 poképoints, complimenti!

Lawliet~! Che vince (4 + 1) = 5 poképoints, complimenti!

chris23! Che vince (4 + 1) = 5 poképoints, complimenti!

 

 

 

Soluzioni:

1) E' possibile ottenere 51 litri di acqua utilizzando un rubinetto da 2 litri? Se sì, dire quante volte utilizzare il rubinetto. Se no, motivare la risposta.

No. Supponiamo di utilizzare n volte il rubinetto da 2 litri. Nel contenitore otterremo, dunque, 2n  litri di acqua, ossia un numero pari (il doppio di un numero naturale è per definizione un numero pari). Ci viene, però, richiesto un numero dispari di litri di acqua (un numero naturale che non è pari è per definizione dispari). Pertanto, non esistendo alcun numero contemporaneamente pari e dispari, la richiesta è impossibile.

 

2) E' possibile ottenere 54 litri di acqua utilizzando un rubinetto da 3 litri? Se sì, dire quante volte utilizzare il rubinetto. Se no, motivare la risposta.

Sì. Supponiamo di utilizzare n volte il rubinetto da 3 litri. Nel contenitore otterremo, dunque, 3n litri di acqua. Come si può facilmente verificare (attraverso l'applicazione di un algoritmo di divisione o di una calcolatrice) il numero 54 è un multiplo di 3, più precisamente si ha che 54 = 3 x 8. Dunque è sufficiente utilizzare otto il rubinetto da 3 litri per ottenere i 54 richiesti.

 

3) E' possibile ottenere 71 litri di acqua utilizzando un rubinetto da 2 litri e uno da 8 litri? Se sì, dire quante volte utilizzare ciascun rubinetto. Se no, motivare la risposta.

No. Supponiamo di utilizzare m volte il rubinetto da 2 litri e n volte il rubinetto da 8 litri. Nel contenitore otterremo, dunque, un quantitativo di litri di acqua pari a 2m + 8n. Ora, il numero 2m è pari, e lo è anche il numero 8n in quanto entrambi sono il doppio di un altro numero naturale. Infine, anche il numero 2m + 8n è un numero pari, in quanto è somma di numeri pari. Tale quantità  non potrà  mai essere uguale a un quantitativo dispari di litri di acqua (nel caso della richiesta 71). Pertanto, anche in questo caso, non è possibile adempiere alla richiesta.

 

4) E' possibile ottenere 74 litri di acqua utilizzando un rubinetto da 3 litri e uno da 5 litri? Se sì, dire quante volte utilizzare ciascun rubinetto. Se no, motivare la risposta.

Sì. Supponiamo di utilizzare m volte il rubinetto da 3 litri e n volte il rubinetto da 5 litri. Nel contenitore otterremo, dunque, un quantitativo di litri di acqua pari a 3m + 5n. Il numero 74 è possibile sì scriverlo come somma di un multiplo di 3 e di un multiplo di 5, ad esempio è vero che: 74 = 24 + 50 = 3 x 8 + 5 x 10. Pertanto la risposta al quesito è affermativa ed è sufficiente utilizzare (ad esempio) otto volte il rubinetto da 3 litri e dieci volte il rubinetto da 5 litri.

 

5) E' possibile ottenere 476 litri di acqua utilizzando un rubinetto da 21 litri e uno da 63 litri? Se sì, dire quante volte utilizzare ciascun rubinetto. Se no, motivare la risposta.

No. Supponiamo di utilizzare m volte il rubinetto da 21 litri e n volte il rubinetto da 63 litri. Nel contenitore otterremo, dunque, un quantitativo di litri di acqua pari a 21m + 63n. E' interessante notare che il numero 21m è sempre divisibile per 21 e, che, anche il numero 63n lo è (63 è un multiplo di 21!). Di conseguenza anche il numero 21m+63n è divisibile per 21 in quanto somma di numeri divisibili per 21. Pertanto il numero di litri di acqua nel contenitore sarà  sempre un multiplo di 21. La domanda ci richiede di accumulare nel contenitore 476 litri di acqua. Siccome 476 non è un multiplo di 21, la richiesta è impossibile.

 

6) Supponendo di avere un secchio di capacità  7 litri con cui poter svuotare  il contenitore, è possibile ottenere 476 litri di acqua utilizzando un rubinetto da 21 litri e uno da 63 litri? Se sì, dire qual è il numero minimo di mosse (e quali) per ottenere un tale quantitativo di acqua. Se no, motivare la risposta.

Sì. Supponiamo di utilizzare m volte il rubinetto da 21 litri, n volte il rubinetto da 63 litri e k volte il secchio da 7 litri. Nel contenitore otterremo, dunque, un quantitativo di litri di acqua pari a 21m + 63n - 7k. E' interessante constatare che tale numero è sempre divisibile per 7 in quanto ciascun addendo lo è. La domanda ci richiede di accumulare nel contenitore 476 litri di acqua, ossia un multiplo di 7. A questo punto, ha sì senso chiedersi di determinare una possibile terna dei valori m, n, k tale per cui sia minima la somma m + n + k (ossia le mosse da eseguire). La cosa più logica da eseguire è quella di utilizzare sette volte il rubinetto da 63 litri di acqua riducendo la richiesta da 476 a 35 litri di acqua. A questo punto possiamo adoperare il secchio per rimuovere 7 litri e aumentare la richiesta di acqua a 42 litri. Infine, utilizzare per due volte il rubinetto da 21 litri per portare a termine la richiesta. Il numero minimo di mosse era, dunque, dieci.

 

EXTRA: Esistenza e caratteristiche delle soluzioni di un'equazione diofantea lineare

Cosa sarebbe successo se vi avessi dovuto chiedere, nel gioco, di trovare, non una, ma tutte le possibili soluzioni? (Comprese, per assurdo, anche quelle negative?). 

 

Iniziamo col definire come equazione diofantea una qualunque equazione algebrica in una o in più incognite a coefficienti interi di cui si vuole determinare tutte e sole le soluzioni intere.

 

Le più semplici equazioni diofantee da studiare sono quelle lineari, ossia quelle dove le incognite appaiono come termini di primo grado. Per semplicità  analizzeremo le equazioni diofantee lineari a due incognite, ossia della forma:

 

ax + by = c   (a,b,c  noti)

 

La prima cosa che ci chiediamo è se questa equazione ammette soluzioni. Detto k = M.C.D. (a, b)  (massimo comun divisore di a e di b) osserviamo che naturalmente k | ax + by  (il simbolo "|" significa "divide") in quanto k|a e k|b. L'equazione diofantea ha soluzione se e solo se è vero che ax + by = c. Ma siccome k | ax + by, allora l'equazione diofantea ha soluzione solo se k|c. Inoltre si può dimostrare, ma noi non lo faremo, che se k|c allora l'equazione diofantea ha soluzione.

 

In generale: Un'equazione diofantea lineare di primo grado ammette soluzioni se e solo se il massimo comun divisore dei coefficienti delle incognite divide il termine noto. 

 

Dopo aver stabilito una condizione necessaria e sufficiente all'esistenza delle soluzioni, possiamo chiederci, se esistono, quante sono. Iniziamo a considerare, per semplicità , l'equazione omogenea associata:

 

ax + by = 0

 

Si sarebbe tentati di affermare che le soluzioni sono tutti quei valori tali per cui x = - by/a. Purtroppo questa affermazione è del tutto errata. Per prima cosa è che questa scrittura non contiene tutte le soluzioni, ma ne perde una, quella nel caso in cui a = 0. Inoltre, ci eravamo proposti di determinare tutte e sole le soluzioni intere, ma non sempre la divisione fra numeri interi è ancora un numero intero. Per queste due ragioni tale scrittura non è accettabile (in questo frangente). 

 

E' immediata constatare che una possibile soluzione è x = b e y = - a, poiché si ha difatti che ab - ba =0. In generale, tutte e sole le soluzioni dell'equazione omogenea associata sono le soluzioni del tipo:

 

x = bt

y = - at

 

Come è facilmente verificabile andando a sostituire nell'equazione. Si noti inoltre che questa scrittura delle soluzioni consente effettivamente di trovarle tutte quante (t è un numero intero da cui dipendono le soluzioni). Passiamo ora al caso più generico, ossia:

 

ax + by = c

 

E' possibile dimostrare (ma noi non lo faremo) che tutte e sole le soluzioni di questa equazione si ottengono sommando ad una soluzione, le soluzioni dell'equazione omogenea associata. Insomma, se x e y sono una soluzione di ax + by = c, ossia se ax + by = c, allora tutte le soluzioni dell'equazione diofantea lineare sono del tipo:

 

x = x + bt

y = y - at

 

Dunque, l'unico problema torna ad essere l'individuazione di una soluzione particolare. In primo approcio una generica soluzione può essere intravista "ad occhio", ma per fortuna, in casi più complessi, siamo aiutati da un algoritmo che ci consente di determinarla (e di cui non tratteremo) che prende il nome di M.C.D.E. (massimo comun divisore esteso).

 

 

Ad esempio, riprendendo la domanda numero quattro, l'equazione diofantea risolvente è:

 

3x + 5y = 74

 

Cerchiamo ora tutte le soluzioni di questa equazione. L'equazione omogenea associata 3x + 5y = 0 ha come soluzione x = 5t, y = - 3t. Inoltre è già  stata individuata una soluzione particolare, ossia x = 8 e y = 10. Dunque l'equazione diofantea iniziale ha per soluzione:

 

x = 8 + 5t

y = 10 - 3t

 

Dove t è un intero qualunque.

 

 

 

Vincitori del gioco "Questione di festa!"

 

Vincitori:

Haven - 6 Poképoints

Roman - 5 Poképoints

The Mighty Mawile - 4 Poképoints

Oblerius - 3 Poképoints

#monochrome - 2 Poképoints

Gigo - 1 Poképoint

 

 

Informazioni generali:

• Se qualcuno dei partecipanti avesse cambiato nickname è pregato di avvisare in questa discussione, grazie;

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Non ho capito una cosa, perché nella risposta 2 del problema difettoso c'è scritto che 3x8=53?

[Lance94]

Non ho capito una cosa, perché nella risposta 2 del problema difettoso c'è scritto che 3x8=53?

 

Tecnicamente ho scritto che 54 = 3 x 8, il che è giusto se denotiamo con il simbolo "x" un operazione molto particolare chiamata prodotto di naturalizzazione che ho appena definito cinque secondi fa. Btw, scherzo xD Grazie per avermelo fatto notare!