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[Pokémon: Satoshi's Castle] Vincitori! - Edizione speciale

Hexial

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Ciao a tutti!   :D

 

Eccoci arrivati ai vincitori del Pokémon: Satoshi's Castle versione 3 dell'edizione speciale!

Ecco i vincitori:

 

Vincitori!

 

Problema... di carnevale!:

 

Al primo posto... Mega Charizard! Che vince la bellezza di 8 poképoints, complimenti!

Al secondo posto... Simone1996! Che vince la bellezza di 7 poképoints, complimenti!

Al terzo posto... Lightning! Che vince la bellezza di 5 poképoints, complimenti!

Al quarto posto... Vαle! Che vince la bellezza di 3 poképoints, complimenti!

Al quinto posto... cottone! Che vince la bellezza di 1 poképoint, complimenti!

 

Soluzione:

 
 

1) Se togliessimo una casella , sarebbe ancora possibile coprire il resto della scacchiera con le tessere del domino? Se sì, quando?

No.

Ogni singola tessera del domino copre due caselle. Di conseguenza, se supponiamo per assurdo che è possibile ricoprire il resto della scacchiera anche dopo aver tolto una casella, avremmo un numero pari di caselle coperte (il doppio di un numero naturale è per definizione un numero pari). Ciò è assurdo, in quanto le caselle rimanenti sono 64 - 1 = 63, ossia un numero dispari. 

 

2) Se togliessimo due angoli opposti, sarebbe ancora possibile coprire il resto della scacchiera con le tessere del domino? Se sì, quando?

No.

Togliendo dalla scacchiera un numero pari di caselle, non possiamo applicare il ragionamento precedente. Osserviamo però una cosa: togliendo le caselle di due angoli opposti verranno sempre rimosse due caselle dello stesso colore (due nere o due bianche). Supponiamo di trovarci nel primo caso (analoga dimostrazione per il secondo caso). Notiamo che ogni tessera del domino copre sempre una casella bianca e una nera, mai due dello stesso colore (questo per via della configurazione delle caselle sulla scacchiera) e che la scacchiera rimanente è composta da 32 caselle bianche e da 30 nere. Ci si presentano due casi:

  1. Non è possibile posizionare sulla scacchiera rimanente 30 tessere. Questo implica che non è possibile coprirla interamente.
  2. E' possibile posizionare sulla scacchiera rimanente 30 tessere. Tali tessere coprirebbero, per quanto già  detto, 30 caselle nere e 30 caselle bianche, lasciando spaiate due caselle bianche che non possono essere, sempre e comunque, coperte da una tessera. Questo implica che non è possibile coprirla interamente.

In entrambi i casi possibili arriviamo alla conclusione che non è possibile ricoprire interamente la scacchiera rimanente. 

 

Osservazione!

Prima proseguire con le risposte, volevo far notare una cosa. Dalle domandi precedenti abbiamo solo ricavato che l'avere un numero eguale di caselle bianche e di caselle nere (rimanenti) è una condizione necessaria ma non sufficiente per poterla ricoprire con le tessere del domino. Esistono infatti dei casi dove il numero delle caselle bianche è uguale a quello delle caselle nere, ma non è possibile ricoprire l'intera scacchiera rimanente. Ecco a voi due esempi:

 

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Conclusione:

Il fatto di dimostrare che il numero delle caselle bianche è uguale a quello delle caselle nere NON dimostra affatto che la scacchiera sia ricopribile. Ripeto, è una condizione necessaria (ovvero che se non vale allora certamente non è possibile) ma non sufficiente (ovvero che non tutte quelle che la soddisfano sono ricopribili).

 

 

3) Se togliessimo due caselle adiacenti (in orizzontale o in verticale), sarebbe ancora possibile coprire il resto della scacchiera con le tessere del domino? Se sì, quando?

Sì, sempre.

In questo caso, a causa della configurazione delle caselle sulla scacchiera, toglieremmo sempre due caselle adiacenti (una bianca e una nera o viceversa). Dunque non è possibile applicare i ragionamenti precedenti. Tuttavia, fra i 12988816 modi per coprire la scacchiera (intera), ne esiste sempre almeno uno in cui una tessere vada a "sovrapporsi" su quelle caselle che poi vorremmo togliere. In tal caso basta togliere quella tessera e avremmo sempre, per qualunque coppia di caselle adiacenti (in orizzontale o in verticale), la possibilità  di ricoprire la scacchiera rimanente. 

 

4) Se togliessimo due caselle adiacenti (in diagonale), sarebbe ancora possibile coprire il resto della scacchiera con le tessere del domino? Se sì, quando?

No.

In questo caso, togliendo due caselle che "confinano" in diagonale, toglieremmo sempre due caselle dello stesso colore (due nere o due bianche). Alla risposta numero due abbiamo dimostrato che se vengono tolte due caselle dello stesso colore non è possibile ricoprire la scacchiera rimanente. 

 

5) Se togliessimo due caselle della scacchiera (una nera e una bianca), sarebbe ancora possibile coprire il resto della scacchiera con le tessere del domino? Se sì, quando?

Sì, sempre.

Nel caso in cui queste due caselle fossero adiacenti si ricadrebbe immediatamente nel caso esposto alla domanda numero 3 di cui si è già  data una risposta. In caso contrario, è sempre possibile costruire un percorso semplice (che non si autointerseca) e chiuso (dove il punto iniziale coincide con il punto finale). Ecco qui riportato un possibile esempio:

 

su411ij.png

 

Andando ad individuare le due caselle da rimuovere, questo percorso si spezzerebbe in due nuovi percorsi (semplici e aperti) composti da un numero pari di caselle (questo perché togliamo dalla scacchiera una casella nera e una casella bianca). Inoltre, indipendentemente dalla scelte delle caselle da togliere, questi due percorsi sono sempre possibili da ricoprire con le tessere. 

 

6) Se togliessimo quattro caselle della scacchiera (due nere e due bianche), riuscite a dimostrare che è possibile ricoprire il resto della scacchiera se almeno due delle caselle tolte di colore opposto non stanno sul bordo?

La dimostrazione di questa affermazione potrebbe rivelarsi particolarmente complessa, ma è possibile dimostrarla similmente come quanto fatto per la domanda numero 5. Prima di far ciò, analizziamo meglio l'ipotesi, ovvero che almeno due delle caselle tolte di colore opposto non devono trovarsi sul bordo. Se infatti si trovassero sul bordo due caselle dello stesso colore potrebbero verificarsi dei casi in cui non è possibile ricoprire la scacchiera, come ad esempio:

 

RjoyVN8.png

 

Ponendo come ipotesi che almeno due caselle tolte di colore opposto non si trovino sul bordo, abbiamo la certezza dell'impossibilità  di ricoprire la scacchiera causata dall'isolamento di alcune caselle. Passiamo ora a mostrare che è sempre possibile ricoprire la scacchiera.

 

Anche qui il trucchetto è quello di costruire un percorso chiuso e semplice. A differenza di prima, non è possibile determinare un percorso unico. Infatti togliendo più di una casella dello stesso colore rischieremmo di ostruire il percorso. Come riportato nel seguente esempio:

 

hCR0IMd.png

(notare che non tutti i quattro percorsi sono ricopribili)

 

Questo problema si può ovviare, però, in modo molto semplice. Basta creare un percorso semplice e chiuso che alterni di volta in volta una casella tolta bianca e una casella tolta nera (sempre possibile da costruire). Esempio:

 

wib0qRk.png

 

In questo modo avremo sempre la scacchiera divisa in quattro percorsi composti da un numero pari di caselle (perché si alternano le caselle tolte nere e bianche) sempre ricopribili.

 

*L'enigma è stato tratto dai fogli di ricerca del prof. Roberto Taruaso

 

Se qualcuno dei vincitori avesse cambiato il nickname è pregato di avvisarmi in questa discussione, grazie.

 

Comunque complimenti a tutti!

I PokéPoints saranno inviati il prima possibile.

Ci vediamo.... Quando? Eheheheh!   :starter:

 

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Rizardon91 Marmocchio

Rizardon91

Inviato
Inviato

Wow non mi aspettavo di finire al primo posto!


Finalmente anche io sono riuscito a vincere dei poképoints! :yeah:


 


Comunque complimenti a tutti coloro che hanno partecipato!


 


Ps:


Complimenti anche ai mod che ci trovano questi fantastici giochi!

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